Determine o raio da esfera na qual seja possível destacar uma calota de altura igual a 2 m e cuja área seja igual ao triplo da área lateral do cone, tendo o vértice no centro da esfera e por base a base da calota.

Passo 1

O enunciado pede o raio R de uma esfera tal que uma calota esférica de altura h=2 m tenha área igual ao triplo da área lateral do cone cujo vértice é o centro da esfera e cuja base coincide com a base da calota. Usaremos:
– Área da calota esférica.
– Área lateral do cone em função do raio da base e da geratriz.

Passo 2

A área da calota de altura h em uma esfera de raio R é
Acalota ;=; 2pi R,h
Como h=2, temos
Acalota = 2pi Rcdot2 = 4pi R

Passo 3

Para o cone:
– O plano da base da calota está a uma distância d = R - h do centro.
– O raio da base do cone é
r = raizR^2 - d^2 = raizR^2 - (R-2)^2 = raiz2Rcdot2 - 2^2 = raiz4R - 4 = 2raizR - 1
– A geratriz (slant height) do cone é a distância do centro da esfera a um ponto da base, que vale R.
Logo a área lateral do cone é
Acone = pi,r,s = pi cdot l(2raizR-1r)cdot R = 2pi RraizR-1

Passo 4

Impondo que a calota tenha área igual ao triplo da área lateral do cone, ou seja
Acalota = 3,Acone,
substituímos as expressões:
4pi R = 3cdotl(2pi RraizR-1r)
Cancelando 2pi R em ambos os lados:
2 = 3raizR-1 Longrightarrow raizR-1 = 23 Longrightarrow R - 1 = 49 Longrightarrow R = 1 + 49 = 139

Resposta

R = 139 m

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