Determine o raio da esfera na qual seja possível destacar uma calota de altura igual a 2 m e cuja área seja igual ao triplo da área lateral do cone, tendo o vértice no centro da esfera e por base a base da calota.
Passo 1
O enunciado pede o raio
de uma esfera tal que uma calota esférica de altura
m tenha área igual ao triplo da área lateral do cone cujo vértice é o centro da esfera e cuja base coincide com a base da calota. Usaremos:
– Área da calota esférica.
– Área lateral do cone em função do raio da base e da geratriz.
– Área da calota esférica.
– Área lateral do cone em função do raio da base e da geratriz.
Passo 2
A área da calota de altura
em uma esfera de raio
é
Como
, temos
Passo 3
Para o cone:
– O plano da base da calota está a uma distância do centro.
– O raio da base do cone é
– O plano da base da calota está a uma distância
– O raio da base do cone é
– A geratriz (slant height) do cone é a distância do centro da esfera a um ponto da base, que vale
.
Logo a área lateral do cone é
Logo a área lateral do cone é
Passo 4
Impondo que a calota tenha área igual ao triplo da área lateral do cone, ou seja
substituímos as expressões:
Cancelando
em ambos os lados: