Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^4-x^3-20 x^2=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação
x^4 - x^3 - 20x^2 = 0
e escrever em forma fatorada o polinômio do lado esquerdo. Vamos usar fatoração por evidência e fatoração de trinômio.

Passo 2

Identificamos que todos os termos têm o fator comum x^2. Fatorando x^2, obtemos:
x^4 - x^3 - 20x^2 = x^2l(x^2 - x - 20r)

Passo 3

Fatoramos o trinômio x^2 - x - 20. Procuramos dois números cujo produto seja -20 e cuja soma seja -1. Esses números são -5 e 4. Assim,
x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4),
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x^4 - x^3 - 20x^2 = x^2(x - 5)(x + 4)

Passo 4

Para encontrar as raízes, igualamos cada fator a zero:
x^2=0 implies x=0(mu<iplicidade 2),
x-5=0 implies x=5,
x+4=0 implies x=-4

Resposta

Fatoração:
x^4 - x^3 - 20x^2 = x^2(x - 5)(x + 4)
Raízes: x=0 (duas vezes), x=5, x=-4.

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