Resolva as desigualdades a seguir.
(x-1)(x+2)(x-4) <= 0

Passo 1

O enunciado nos pede resolver a inequação (x-1)(x+2)(x-4)<= 0. Este tipo de problema envolve análise de sinal de um polinômio fatorial, o que fazemos encontrando as raízes da expressão, dividindo a reta real em intervalos e testando o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Encontramos as raízes fazendo cada fator igual a zero:
x-1=0implies x=1,
x+2=0implies x=-2,
x-4=0implies x=4

Passo 3

Ordenando as raízes em -2<1<4, dividimos a reta real nos intervalos (-infty,-2), (-2,1), (1,4) e (4,+infty). Em cada intervalo, escolhemos um ponto teste para avaliar o sinal do produto:
Para (-infty,-2), tome x=-3:
(-3-1)(-3+2)(-3-4)=(-4)(-1)(-7)=-28<0
Para (-2,1), tome x=0:
(0-1)(0+2)(0-4)=(-1)(2)(-4)=8>0
Para (1,4), tome x=2:
(2-1)(2+2)(2-4)=(1)(4)(-2)=-8<0
Para (4,+infty), tome x=5:
(5-1)(5+2)(5-4)=(4)(7)(1)=28>0

Passo 4

A inequação exige <= 0, ou seja, queremos onde o produto é negativo ou zero. Observamos que o produto é negativo em (-infty,-2)cup(1,4) e é zero em x=-2, x=1 e x=4. Assim, a solução da inequação é
(-infty,-2]cup[1,4]

Resposta

(-infty,-2]cup[1,4]

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