Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^4-6 x^3-5 x^2+30 x=0, sabendo que x=6 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação
x^4-6x^3-5x^2+30x=0
e escrever o polinômio do lado esquerdo na forma fatorada. Como já sabemos que x=6 é raiz, vamos usar divisão de polinômios para obter um quociente de grau 3, depois fatorá-lo completamente e encontrar todas as raízes.

Passo 2

Como x=6 é raiz, (x-6) é um fator. Aplicando divisão sintética em
x^4 - 6x^3 - 5x^2 + 30x
por x-6, obtemos como quociente
x^3 - 5x
e resto zero.

Passo 3

No polinômio de grau 3, x^3 - 5x, colocamos x em evidência:
x^3 - 5x = x,(x^2 - 5)

Passo 4

Da fatoração completa (x-6)cdot x,(x^2 - 5)=0, as raízes vêm de
x-6=0, x=0, x^2-5=0,
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x=6, x=0, x=raiz5, x=-raiz5

Passo 5

Reunindo tudo, a forma fatorada do polinômio é
x^4 - 6x^3 - 5x^2 + 30x = x,(x-6),(x-raiz5),(x+raiz5)

Resposta

As raízes são
x = 6, x = 0, x = raiz5, x = -raiz5
O polinômio fatorado é
x,(x-6),(x-raiz5),(x+raiz5)

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