Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
8 x^4-6 x^3-2 x^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
8x^4 - 6x^3 - 2x^2 = 0
e escrever o polinômio do lado esquerdo na sua forma fatorada. Aqui vamos usar fator comum e fatoração de polinômio de segundo grau.

Passo 2

Identificamos que todos os termos têm x^2 e um fator numérico comum 2. Fatorando:
8x^4 - 6x^3 - 2x^2 = 2x^2l(4x^2 - 3x - 1r)

Passo 3

Agora fatoramos o trinômio 4x^2 - 3x - 1. Procuramos dois números cujo produto seja 4 cdot (-1) = -4 e cuja soma seja -3. Esses números são -4 e 1. Assim:
4x^2 - 3x - 1 = 4x^2 + x - 4x - 1 = x,(4x + 1) -1,(4x + 1) = (x - 1),(4x + 1)

Passo 4

Logo a fatoração completa é
8x^4 - 6x^3 - 2x^2 = 2x^2,(x - 1),(4x + 1)
As raízes vêm de cada fator igualado a zero:
2x^2=0 implies x=0(raiz dupla),
x-1=0 implies x=1,
4x+1=0 implies x=-tfrac14

Resposta

As raízes são
x=0 (mu<iplicidade 2), x=1, x=-tfrac14,
e a forma fatorada do polinômio é
8x^4 - 6x^3 - 2x^2 = 2x^2,(x - 1),(4x + 1)

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