Sabendo que x=-3 é uma raiz da equação x^3+5 x^2+10 x+12=0,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio x^3+5 x^2+10 x+12 na forma fatorada.
c) resolva a inequação x^3+5 x^2+10 x+12 >= 0.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^3+5x^2+10x+12
e informa que x=-3 é uma raiz. Pede-se:
a) todas as raízes reais de P(x)=0;
b) escrever P(x) na forma fatorada;
c) resolver a inequação P(x)>=0.
Para isso vamos usar divisão polinomial, fórmula de Bhaskara e análise de sinal.

Passo 2

Fatoramos P(x) por (x+3) usando divisão polinomial. Dividindo
x^3+5x^2+10x+12 por x+3
obtemos o quociente
x^2+2x+4
e resto zero. Logo
P(x)=(x+3)l(x^2+2x+4r)

Passo 3

Para achar as raízes, resolvemos
x^2+2x+4=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
De<a = 2^2-4cdot1cdot4 = 4-16 = -12<0,
não há raízes reais nessa parte. Assim a única raiz real de P(x) é
x=-3
As outras duas são complexas conjugadas ;-1pm iraiz3.

Passo 4

Para resolver P(x)>=0, observamos que o fator x^2+2x+4 é sempre positivo (pois seu discriminante é negativo e o coeficiente de x^2 é +1). Assim o sinal de P(x) é o mesmo de (x+3). Logo
  • Se x<-3, então x+3<0 e P(x)<0.
  • Se x=-3, P(x)=0.
  • Se x>-3, x+3>0 e P(x)>0.
Portanto a solução da inequação é
x>= -3

Resposta

a) A única raiz real é x=-3.
b)
x^3+5x^2+10x+12 = (x+3)(x^2+2x+4)
c)
,xinRmid x>= -3

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