Sabendo que
é uma raiz da equação
,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio
na forma fatorada.
c) resolva a inequação
.
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio
c) resolva a inequação
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
é uma raiz. Pede-se:
a) todas as raízes reais de ;
b) escrever na forma fatorada;
c) resolver a inequação .
Para isso vamos usar divisão polinomial, fórmula de Bhaskara e análise de sinal.
a) todas as raízes reais de
b) escrever
c) resolver a inequação
Para isso vamos usar divisão polinomial, fórmula de Bhaskara e análise de sinal.
Passo 2
Fatoramos
por
usando divisão polinomial. Dividindo
obtemos o quociente
e resto zero. Logo
Passo 3
Para achar as raízes, resolvemos
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
não há raízes reais nessa parte. Assim a única raiz real de
é
As outras duas são complexas conjugadas
.
Passo 4
Para resolver
, observamos que o fator
é sempre positivo (pois seu discriminante é negativo e o coeficiente de
é
). Assim o sinal de
é o mesmo de
. Logo
- Se
, então e . - Se
, . - Se
, e .
Portanto a solução da inequação é
Resposta
a) A única raiz real é
.
b)
b)
c)