Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^3+x^2-2 x-2=0, sabendo que x=-1 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação
x^3 + x^2 - 2x - 2 = 0
sabendo que ,x=-1 é uma raiz.
O conteúdo usado aqui é o Teorema do Fator (se a é raiz, então x-a é fator) e divisão polinomial para obter o quociente.

Passo 2

Pelo Teorema do Fator, como ,x=-1 é raiz, (x - (-1)) = (x+1) é um fator de
p(x) = x^3 + x^2 - 2x - 2

Passo 3

Vamos dividir p(x) por (x+1) usando divisão de polinômios:
  1. Multiplicamos x+1 por x^2, obtendo x^3 + x^2.
  2. Subtraímos de x^3 + x^2 - 2x - 2, ficando -2x -2.
  3. Multiplicamos x+1 por -2, obtendo -2x -2.
  4. Subtraímos e o resto é zero.
Logo, o quociente é
x^2 - 2

Passo 4

Com isso temos a fatoração completa
x^3 + x^2 - 2x - 2 = (x+1),(x^2 - 2)
Agora basta resolver x^2 - 2 = 0, que dá
x = pm raiz2

Resposta

A forma fatorada é
(x+1)(x^2 - 2)
e as raízes da equação são
x = -1, x = raiz2, x = -raiz2

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