Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^3-5 x^2-4 x+20=0, sabendo que x=2 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio cúbico
x^3 - 5x^2 - 4x + 20
e informa que x=2 é uma raiz. O objetivo é usar essa raiz para fatorar o polinômio em um fator de grau 1 e obter um polinômio de grau 2, cujas raízes restantes encontraremos em seguida.

Passo 2

Aplicamos divisão sintética do polinômio por (x-2). Tomando os coeficientes 1,,-5,,-4,,20 e o valor 2:
Coeficientes:\quad 1\quad | \quad -5 \quad | \quad -4 \quad | \quad 20)
Trazer o 1 para baixo.
Multiplicar 1 por 2 2; somar a -5 resulta em -3.
Multiplicar -3 por 2 -6; somar a -4 resulta em -10.
Multiplicar -10 por 2 -20; somar a 20 resulta em 0.
O resto é zero (confirmando a raiz), e o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 1,,-3,,-10, ou seja,
x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x-2)l(x^2 - 3x - 10r)

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2 - 3x - 10 = 0
Calculemos o discriminante:
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot(-10) = 9 + 40 = 49
As raízes são
x = 3 pm raiz492 = 3 pm 72,
isto é,
x = 5 ou x = -2

Passo 4

Reunindo tudo, a fatoração completa do polinômio é
x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x - 2),(x - 5),(x + 2)
Portanto, as raízes da equação são x = 2, x = 5 e x = -2.

Resposta

As raízes são
2, 5, -2
e a fatoração é
(x - 2)(x - 5)(x + 2) = 0

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