Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
, sabendo que
é uma raiz.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio cúbico
e informa que
é uma raiz. O objetivo é usar essa raiz para fatorar o polinômio em um fator de grau
e obter um polinômio de grau
, cujas raízes restantes encontraremos em seguida.
Passo 2
Aplicamos divisão sintética do polinômio por
. Tomando os coeficientes
e o valor
:
Coeficientes:\quad
\quad | \quad -5 \quad | \quad -4 \quad | \quad 20)
Trazer o para baixo.
Multiplicar por
dá
; somar a
resulta em
.
Multiplicar por
dá
; somar a
resulta em
.
Multiplicar por
dá
; somar a
resulta em
.
Trazer o
Multiplicar
Multiplicar
Multiplicar
O resto é zero (confirmando a raiz), e o quociente é o polinômio de grau
com coeficientes
, ou seja,
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Calculemos o discriminante:
As raízes são
isto é,
Passo 4
Reunindo tudo, a fatoração completa do polinômio é
Portanto, as raízes da equação são
,
e
.
Resposta
As raízes são
e a fatoração é