Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
3 x^3-26 x^2+33 x+14=0, sabendo que x=7 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação
3x^3-26x^2+33x+14=0
sabendo que x=7 é uma raiz. O conteúdo envolve fatoração de polinômios de grau 3 usando divisão polinomial (ou sintética) e, depois, resolução de uma equação quadrática resultante.

Passo 2

Como x=7 é raiz, o polinômio deve ser divisível por (x-7). Vamos dividir
3x^3-26x^2+33x+14
por (x-7) usando divisão sintética:
Coeficientes: 3,,-26,,33,,14
Valor para divisão sintética: 7
c|rrrr 7 & 3 & -26 & 33 & 14hline & & 21 & -5 & -2 & 3 & -5 & 28 & 0
O resto é 0 (confirma a raiz) e o quociente é
3x^2-5x-2

Passo 3

Agora fatoramos a quadrática
3x^2-5x-2=0
Podemos usar a soma e produto de raízes ou o discriminante. O discriminante é
De<a = (-5)^2-4cdot3cdot(-2)=25+24=49,
logo as raízes são
x=5pmraiz492cdot3=5pm76
Isso dá x=2 e x=-tfrac13. Em forma fatorada,
3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)

Passo 4

Reunindo tudo, o polinômio original se escreve como
3x^3-26x^2+33x+14=(x-7)l(3x^2-5x-2r)=(x-7)(3x+1)(x-2),
e suas raízes são x=7, x=2 e x=-tfrac13.

Resposta

As raízes são
x=7, x=2, x=-tfrac13
e a fatoração do polinômio é
3x^3-26x^2+33x+14=(x-7)(3x+1)(x-2)

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