Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
3 x^3+2 x^2+17 x-6=0, sabendo que x=13 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação
3x^3+2x^2+17x-6=0
sabendo que x=tfrac13 é uma raiz. Vamos usar fatoração via divisão sintética para decompor o polinômio em um fator de grau 1 e um de grau 2, e então resolver a parte quadrática.

Passo 2

Fazendo a divisão sintética de 3x^3+2x^2+17x-6 por x - tfrac13, tomamos os coeficientes 3,;2,;17,;-6 e a raiz alpha=tfrac13:
Trazer o 3 para baixo
Multiplicar tfrac13cdot3=1 e somar a 2 3
Multiplicar tfrac13cdot3=1 e somar a 17 18
Multiplicar tfrac13cdot18=6 e somar a -6 0
O resto é zero e o quociente tem coeficientes 3,;3,;18, ou seja,
3x^3+2x^2+17x-6 = l(x-tfrac13r)l(3x^2+3x+18r)

Passo 3

Para simplificar a fatoração, extraímos 3 de 3x^2+3x+18:
3x^2+3x+18 = 3l(x^2+x+6r)
Logo
3x^3+2x^2+17x-6 = (x-tfrac13)cdot3,(x^2+x+6) = (3x-1)(x^2+x+6)

Passo 4

Agora resolvemos x^2+x+6=0 pela fórmula de Bhaskara:
De<a = 1^2-4cdot1cdot6 = -23,
x = -1pmraiz-232 = -tfrac12 pm tfracraiz232,i

Resposta

A forma fatorada é
3x^3+2x^2+17x-6 = (3x-1)(x^2+x+6),
e as raízes são
x = tfrac13, x = -tfrac12 + tfracraiz232,i, x = -tfrac12 - tfracraiz232,i

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