Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^4-9 x^3-x^2+81 x-72=0, sabendo que x=8 e x=3 são raízes.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
x^4-9x^3-x^2+81x-72
e informa que x=8 e x=3 são raízes. Logo, já temos dois fatores lineares (x-8) e (x-3). Nosso objetivo é dividir o polinômio original por
(x-8)(x-3)=x^2-11x+24
para encontrar o fator quadrático restante e depois fatorá-lo completamente.

Passo 2

Suponha que a divisão produza um quociente do tipo
x^2+ax+b
Então podemos escrever
x^4-9x^3-x^2+81x-72 = (x^2-11x+24),(x^2+ax+b)
Expandindo o produto do lado direito, temos
(x^2-11x+24)(x^2+ax+b) = x^4 + (a-11),x^3 + (b-11a+24),x^2 + (-11b+24a),x + 24b

Passo 3

Agora igualamos coeficientes de x^k com o polinômio original:
  • Coeficiente de x^3:
a - 11 = -9
implies a = 2
  • Coeficiente de x^2:
b - 11a + 24 = -1
Substituindo a=2: b - 22 + 24 = -1
implies b + 2 = -1
implies b = -3
Os demais coeficientes conferem automaticamente.

Passo 4

O fator quadrático encontrado é
x^2+2x-3
Para fatorar, buscamos dois números cuja soma seja 2 e o produto seja -3. Esses números são 3 e -1. Logo,
x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)

Passo 5

Reunindo tudo, a fatoração completa do polinômio fica
x^4-9x^3-x^2+81x-72 = (x-8)(x-3)(x+3)(x-1)
As raízes são os valores de x que anulam cada fator:
x = 8, x = 3, x = -3, x = 1

Resposta

x^4-9x^3-x^2+81x-72 = (x-8)(x-3)(x+3)(x-1),
com raízes x=8,,3,,-3,,1.

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