Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
, sabendo que
e
são raízes.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e informa que
e
são raízes. Logo, já temos dois fatores lineares
e
. Nosso objetivo é dividir o polinômio original por
para encontrar o fator quadrático restante e depois fatorá-lo completamente.
Passo 2
Suponha que a divisão produza um quociente do tipo
Então podemos escrever
Expandindo o produto do lado direito, temos
Passo 3
Agora igualamos coeficientes de
com o polinômio original:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
:
Os demais coeficientes conferem automaticamente.
Passo 4
O fator quadrático encontrado é
Para fatorar, buscamos dois números cuja soma seja
e o produto seja
. Esses números são
e
. Logo,
Passo 5
Reunindo tudo, a fatoração completa do polinômio fica
As raízes são os valores de
que anulam cada fator:
Resposta
com raízes
.