Fazendo a mudança de variável w=x^2, determine os zeros das funções dadas e as escreva na forma fatorada.
p(x)=2 x^4-27 x^2-80

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os zeros de
p(x)=2x^4-27x^2-80
fazendo a mudança de variável w=x^2, e depois escrever p(x) na forma fatorada. O conteúdo é fatoração de polinômios via substituição e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Definimos
w = x^2,
então
p(x)=2x^4-27x^2-80
torna-se a equação em w:
2w^2-27w-80=0

Passo 3

Para resolver
2w^2-27w-80=0
usamos a fórmula de Bhaskara. Calculamos o discriminante:
De<a = (-27)^2-4cdot2cdot(-80)=729+640=1369,
logo
raizDe<a=37
Assim
w = 27pm372cdot2 = 27pm374
Isso dá
w1=27+374=16, w2=27-374=-52

Passo 4

Voltando a x, resolvemos
x^2=w1=16
e
x^2=w2=-52
Da primeira, obtém-se as raízes reais
x=pm4
Da segunda, surgem as raízes complexas
x=pm iraiztfrac52

Passo 5

A fatoração em termos reais aproveita que
x^2-16=0
e
x^2+tfrac52=0
Escrevemos
p(x)=2l(x^2-16r)l(x^2+tfrac52r)
Distribuindo o 2 no segundo fator:
p(x)=(x^2-16)(2x^2+5)
E por fim em fatores lineares e quadrático irreduzível:
p(x)=(x-4)(x+4)(2x^2+5)

Resposta

Os zeros são
x=pm4, x=pm iraiztfrac52,
e a forma fatorada em R é
p(x)=(x-4)(x+4)(2x^2+5)

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