Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^3-3 x^2-10 x+24=0, sabendo que x=4 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache as raízes da equação
x^3-3x^2-10x+24=0, sabendo que x=4 é uma raiz.
O conteúdo necessário é o Teorema do Fator (ou do Resto) para dividir o polinômio por (x-4) e, em seguida, fatorar o polinômio de segundo grau resultante.

Passo 2

Pelo Teorema do Fator, como x=4 é raiz, (x-4) divide o polinômio. Vamos usar divisão sintética em
x^3-3x^2-10x+24 por x-4:
Coeficientes: 1,,-3,,-10,,24.
  1. Trazemos 1 para baixo.
  2. Multiplicamos 1cdot4=4 e somamos a -3, resultando em 1.
  3. Multiplicamos 1cdot4=4 e somamos a -10, resultando em -6.
  4. Multiplicamos -6cdot4=-24 e somamos a 24, resultando em 0.
O resto é zero e o quociente é
x^2 + x - 6

Passo 3

Agora fatoramos o trinômio x^2+x-6. Buscamos dois números cujo produto seja -6 e a soma seja 1; são 3 e -2. Logo,
x^2+x-6 = (x-2)(x+3)

Passo 4

Unindo tudo, o polinômio original se escreve
x^3-3x^2-10x+24 = (x-4),l(x^2+x-6r) = (x-4)(x-2)(x+3)
As raízes correspondem aos zeros de cada fator:
x=4, x=2, x=-3

Resposta

As raízes são x=4, x=2 e x=-3.
O polinômio na forma fatorada é
(x-4)(x-2)(x+3)

Exercícios de Livros Relacionados