Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Supondo que denota o número de homens do grupo, determine esse valor.

Passo 1

O enunciado fala de um grupo de 40 pessoas, com x homens e 40 - x mulheres. Cada grupo gasta o mesmo total de R$ (2400,00), mas cada mulher paga R, mas cada mulher paga R$ 64,00 a menos que cada homem. O conteúdo que vamos usar é a modelagem por equação algébrica e a resolução de uma equação quadrática.

Passo 2

Se cada homem paga tfrac2400x reais e cada mulher paga tfrac240040 - x reais, a diferença por cabeça é 64 reais. Logo, montamos a equação
240040 - x ;=; 2400x ;-; 64

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(40 - x) para eliminar denominadores:
2400,x = 2400,(40 - x) ;-; 64,x(40 - x)
Expandindo e agrupando termos, chega-se a
2400x = 96000 - 2400x - 2560x + 64x^2 Longrightarrow 64x^2 - 7360x + 96000 = 0
Dividindo ambos os lados por 16:
4x^2 - 460x + 6000 = 0 ;Longrightarrow; x^2 - 115x + 1500 = 0

Passo 4

Resolvendo a quadrática x^2 - 115x + 1500 = 0, o discriminante é
De<a = 115^2 - 4 cdot 1 cdot 1500 = 13225 - 6000 = 7225,
raizDe<a=85. Assim,
x = 115 pm 852 ;Longrightarrow; x = 100 ou x = 15
Como não pode haver mais de 40 homens, escolhemos x = 15.

Resposta

O número de homens do grupo é 15.

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