Sabendo que x=-5 é uma raiz da equação 2 x^3+7 x^2-17 x-10=0,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) resolva a inequação 2 x^3+7 x^2-17 x-10 >= 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o polinômio 2x^3+7x^2-17x-10:
a) encontrar todas as raízes reais sabendo que x=-5 é uma delas;
b) resolver a inequação 2x^3+7x^2-17x-10>=0.
O que vamos precisar: divisão de polinômios, fórmula de Bhaskara e análise de sinal de um polinômio fatorado.

Passo 2

Como x=-5 é raiz, dividimos o polinômio por (x+5). Por divisão ou identificação direta temos
2x^3+7x^2-17x-10=(x+5)(2x^2-3x-2)

Passo 3

Para achar as raízes do fator quadrático, resolvemos
2x^2-3x-2=0
O discriminante é De<a =(-3)^2-4cdot2cdot(-2)=9+16=25. Logo
x=3pm54Longrightarrow x=2ou x=-tfrac12

Passo 4

Assim, as raízes reais da equação são
x=-5, x=-tfrac12, x=2

Passo 5

Para a inequação, fatoramos completamente o polinômio:
2x^3+7x^2-17x-10=(x+5)(2x^2-3x-2)=(x+5)(x-2)(2x+1)

Passo 6

Cada fator muda de sinal nas raízes -5, -tfrac12 e 2. Testando um ponto em cada intervalo, chega-se a esta variação de sinal:
x < -5 to\quad negativo
-5 < x < -tfrac12\quad to\quad positivo
-tfrac12 < x < 2 to\quad negativo
x > 2 to\quad positivo

Passo 7

Queremos 2x^3+7x^2-17x-10>=0, ou seja, onde o produto é não negativo. Então
xin[-5,-tfrac12];cup;[2,infty)

Resposta

a) As raízes são x=-5, x=-tfrac12 e x=2.
b) A solução da inequação é
xin[-5,-tfrac12]cup[2,infty)

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