Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
4 x^4-21 x^3-19 x^2+6 x=0, sabendo que x=1 / 4 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação
4x^4-21x^3-19x^2+6x=0
sabendo que x=tfrac14 é uma raiz.
Conteúdo: teorema do resto (ou fator), divisão de polinômios e fatoração de quadrática.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o fator comum x:
4x^4-21x^3-19x^2+6x = xl(4x^3-21x^2-19x+6r)=0

Passo 3

Como x=tfrac14 é raiz de 4x^3-21x^2-19x+6, o divisor associado é (4x-1).
Fazendo a divisão sintética em 4x^3-21x^2-19x+6 por x-tfrac14 (ou polinomial por 4x-1), obtemos o quociente
4x^2-20x-24
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4x^3-21x^2-19x+6 =(4x-1)l(4x^2-20x-24r)/4 =(4x-1)(x^2-5x-6)

Passo 4

Agora fatoramos a quadrática x^2-5x-6:
x^2-5x-6=(x-6)(x+1)

Passo 5

Reunindo tudo, a expressão original fica
4x^4-21x^3-19x^2+6x = x,(4x-1),(x-6),(x+1)
As raízes são os valores que anulam cada fator:
x=0, x=tfrac14, x=6, x=-1

Resposta

4x^4-21x^3-19x^2+6x = x,(4x-1),(x-6),(x+1),
raízes: x=0,;tfrac14,;6,;-1.

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