Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^3-4 x^2-17 x+60=0, sabendo que x=3 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado dá a equação cúbica
x^3-4x^2-17x+60=0
e informa que x=3 é uma raiz. O conteúdo aqui é o Teorema do Resto (ou Teorema do Fator): se x=a é raiz, então (x-a) é fator do polinômio. Para encontrar as outras raízes, vamos dividir o polinômio por (x-3) e resolver o quadrático resultante.

Passo 2

Aplicando divisão sintética para dividir x^3-4x^2-17x+60 por x-3:
coeficientes: 1,;-4,;-17,;60
r|rrrr 3 & 1 & -4 & -17 & 60 & & 3 & -3 & -60hline & 1 & -1 & -20 & 0
O resto é zero (confirmando que x=3 é raiz) e o quociente é x^2-x-20. Logo,
x^3-4x^2-17x+60 = (x-3)(x^2-x-20)

Passo 3

Agora resolvemos o quadrático
x^2-x-20 = 0
usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz(-1)^2 - 4cdot1cdot(-20)2cdot1 = 1 pm raiz1+802 = 1 pm 92
Isso dá as raízes x = tfrac1+92=5 e x = tfrac1-92=-4.

Passo 4

Como as raízes do quadrático são 5 e -4, ele fatora como
x^2-x-20 = (x-5)(x+4)
Portanto a fatoração completa do polinômio dado é
x^3-4x^2-17x+60 = (x-3)(x-5)(x+4)

Resposta

As raízes da equação são
x = 3, x = 5, x = -4
e a fatoração do polinômio é
x^3-4x^2-17x+60 = (x-3)(x-5)(x+4)

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