Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^4-9 x^3+17 x^2+33 x-90=0, sabendo que x=-2 e x=5 são raízes.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^4-9x^3+17x^2+33x-90=0
e informa que x=-2 e x=5 são raízes. O conteúdo aqui é fatoração de polinômio usando divisões sucessivas (divisão sintética) para reduzir o grau e encontrar todos os fatores lineares.

Passo 2

Como é raiz, o fator correspondente é . Vamos dividir o polinômio original por via divisão sintética:
O resto é zero e o quociente é o polinômio de grau 3:

Passo 3

Agora usamos a raiz no quociente. O fator é . Dividindo por :
O resto é zero e o novo quociente é o polinômio de grau 2:

Passo 4

Fatoramos o quadrático:
x^2-6x+9 = (x-3)^2

Passo 5

Reunindo todos os fatores, o polinômio original fica
x^4-9x^3+17x^2+33x-90 = (x+2),(x-5),(x-3)^2
As raízes são x=-2, x=5 e x=3 (multiplicidade 2).

Resposta

O polinômio fatorado é
(x+2),(x-5),(x-3)^2=0
e as raízes são
x=-2, x=5, x=3 (dupla)

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