Sabendo que x=3 é um zero de f(x)=3 x^3-39 x+36,
a) determine todos os zeros da função;
b) resolva 3 x^3-39 x+36 <= 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=3x^3-39x+36 e informa que x=3 é raiz; pede
(a) determinar todos os zeros de f e
(b) resolver a inequação 3x^3-39x+36<=0.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, localização de raízes e análise de sinal de produto para inequações.

Passo 2

Para fatorar f(x) por (x-3) usamos divisão sintética com a raiz 3. Os coeficientes são 3,0,-39,36.
A divisão sintética dá quociente
3x^2+9x-12
e resto zero, confirmando f(x)=(x-3)l(3x^2+9x-12r).

Passo 3

Fatoramos o quadrático:
3x^2+9x-12=3l(x^2+3x-4r)
Resolvendo x^2+3x-4=0 pela fórmula de Bhaskara:
x=-3pmraiz9+162=-3pm52,
resultando em x=1 e x=-4. Assim, os zeros de f são -4,1,3.

Passo 4

Reescrevemos então
f(x)=3,(x-3)(x-1)(x+4)
Como o coeficiente líder 3>0, o sinal de f(x) é o mesmo do produto (x-3)(x-1)(x+4). As raízes dividem a reta em quatro intervalos: (-infty,-4), (-4,1), (1,3) e (3,infty).

Passo 5

Analisando o sinal em cada região:
  • Em x<-4: os três fatores são negativos Rightarrow produto negativo.
  • Em -4<x<1: os fatores (x+4)>0, (x-1)<0, (x-3)<0 Rightarrow produto positivo.
  • Em 1<x<3: só (x-3)<0 Rightarrow produto negativo.
  • Em x>3: todos os fatores positivos Rightarrow produto positivo.
    Como queremos f(x)<=0, aceitaremos as regiões de produto negativo e os pontos em que f(x)=0, ou seja
(-infty,-4]cup[1,3]

Resposta

(a) Os zeros são -4, 1 e 3.
(b) A solução da inequação é (-infty,-4]cup[1,3].

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