Usando o método da bisseção, determine um zero de p(x)=x^4-6 x^2-5 x no intervalo [1,3].

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção para determinar um zero de p(x)=x^4-6x^2-5x no intervalo [1,3]. O conteúdo é aplicação do Teorema do Valor Intermediário e iterações sucessivas de
m = a+b2,
onde em cada etapa escolhemos o subintervalo [a,b] em que p(a) e p(b) têm sinais opostos.

Passo 2

Calculamos os valores nos extremos:
p(1)=1-6-5=-10, p(3)=81-54-15=12
Como p(1)times p(3)<0, existe pelo menos uma raiz em [1,3].

Passo 3

Iteração 1:
m1=1+32=2, p(2)=16-24-10=-18<0;Longrightarrow; novo intervalo [2,3]
Iteração 2:
m2=2+32=2,5, p(2,5)=39,0625-37,5-12,5=-10,9375<0;Longrightarrow; [2,5,3]

Passo 4

Iteração 3:
m3=2,5+32=2,75, p(2,75)=57,1914-45,375-13,75=-1,9336<0;Longrightarrow; [2,75,3]
Iteração 4:
m4=2,75+32=2,875, p(2,875)=68,3206-49,5938-14,375=4,3518>0;Longrightarrow; [2,75,2,875]

Passo 5

Iteração 5:
m5=2,75+2,8752=2,8125, p(2,8125)=62,5706-47,4609-14,0625=1,0472>0;Longrightarrow; [2,75,2,8125]
Iteração 6:
m6=2,75+2,81252=2,78125, p(2,78125)approx59,835-46,4121-13,9063=-0,4834<0;Longrightarrow; [2,78125,2,8125]

Passo 6

Iteração 7:
m7=2,78125+2,81252=2,796875, p(2,796875)approx61,07-46,9813-13,9844=0,1043>0;Longrightarrow; [2,78125,2,796875]
Iteração 8:
m8=2,78125+2,7968752=2,7890625, p(2,7890625)approx60,50-46,667-13,9453=-0,1119<0;Longrightarrow; [2,7890625,2,796875]
Agora o comprimento do intervalo é
2,796875-2,7890625=0,0078125<0,01,
logo atingimos tolerância de 10^-2.

Passo 7

Como [a,b]=[2,7890625,2,796875] tem largura menor que 0,01, tomamos a aproximação da raiz como o ponto médio
xaprox=2,7890625+2,7968752=2,79296875

Resposta

Aproximando com erro menor que 10^-2, um zero de p(x) em [1,3] é
xapprox2,79296875

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