Sabendo que x=6 é um zero de f(x)=4 x^4-20 x^3-23 x^2-6 x,
a) determine todos os zeros da função;
b) escreva f(x) na forma fatorada;
c) resolva a inequação f(x) >= 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=4x^4-20x^3-23x^2-6x
e informa que x=6 é uma raiz. Pede-se:
a) todos os zeros de f;
b) forma fatorada de f(x);
c) solução da inequação f(x)>=0.
Vamos usar divisão sintética para achar os fatores restantes, fatoração de quadrático e análise de sinal.

Passo 2

Extraímos o fator trivial x em f(x):
f(x)=x,(4x^3-20x^2-23x-6)
Como x=6 é raiz do cúbico, dividimos 4x^3-20x^2-23x-6 por (x-6) usando divisão sintética.

Passo 3

Divisão sintética de 4x^3-20x^2-23x-6 por x-6:
6 ;|; 4 -20 -23 -6
24 24 6
4 4 1 0
O quociente é 4x^2+4x+1 e o resto é zero, confirmando a raiz x=6.

Passo 4

Fatoramos o quadrático
4x^2+4x+1
O discriminante é
De<a=4^2-4cdot4cdot1=0,
logo há raiz única (dupla) em
x=-42cdot4=-12

Passo 5

Assim os zeros de f são
x=0, x=6, x=-tfrac12 (mu<iplicidade 2)

Passo 6

Escrevendo f(x) na forma totalmente fatorada e extraindo o 4 do quadrático, fica
f(x)=x,(x-6),(4x^2+4x+1) =4,x,(x-6)l(x+tfrac12r)^2

Passo 7

Para f(x)>=0 notamos que 4>0 e l(x+tfrac12r)^2>=0 sempre (zero em x=-tfrac12), então o sinal de f vem de x(x-6):
  • Se x<0, então x<0 e x-6<0 Rightarrow x(x-6)>0.
  • Se 0<x<6, então x>0 e x-6<0 Rightarrow x(x-6)<0.
  • Se x>6, então x>0 e x-6>0 Rightarrow x(x-6)>0.
    Incluindo os zeros x=0 e x=6, obtemos
f(x)>=0iff x<=0 ou x>=6

Resposta

a) x=0, x=6 e x=-tfrac12 (dupla).
b) f(x)=4,x,(x-6)l(x+tfrac12r)^2
c) xin(-infty,0]cup[6,infty)

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