Usando o método da bisseção, determine um zero de p(x)=x^3-3 x+1 no intervalo [-2,-1].

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção e encontrar um zero da função
p(x)=x^3-3x+1
no intervalo [-2,-1].
Conteúdo: método da bisseção.
O que precisamos: verificar que p é contínua em [-2,-1] e que p(-2) e p(-1) têm sinais opostos, escolher uma tolerância varepsilon e iterar até que o comprimento do intervalo seja menor que varepsilon.

Passo 2

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
p(-2)=(-2)^3-3(-2)+1=-8+6+1=-1, p(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3
Como p(-2)times p(-1)=-1cdot3<0, há ao menos uma raiz em [-2,-1].

Passo 3

Definimos a tolerância varepsilon=0,01 e aplicamos o método de bisseção. A cada iteração, calculamos
c=a+b2,
avaliamos p(c) e mantemos o subintervalo onde ocorre mudança de sinal. As iterações são:
  • 1ª iteração: [,-2,-1,] to c1=-1,5, p(c1)=2,125>0 implies[,- 2,,- 1,5,].
  • 2ª iteração: [,-2,-1,5,] to c2=-1,75, p(c2)=0,891>0 implies[,- 2,,- 1,75,].
  • 3ª iteração: [,-2,-1,75,] to c3=-1,875, p(c3)=0,0337>0 implies[,- 2,,- 1,875,].
  • 4ª iteração: [,-2,-1,875,] to c4=-1,9375, p(c4)=-0,462<0 implies[,- 1,9375,,- 1,875,].
  • 5ª iteração: [,-1,9375,-1,875,] to c5=-1,90625, p(c5)=-0,196<0 implies[,- 1,90625,- 1,875,].
  • 6ª iteração: [,-1,90625,-1,875,] to c6=-1,890625, p(c6)=-0,0796<0 implies[,- 1,890625,- 1,875,].
  • 7ª iteração: [,-1,890625,-1,875,] to c7=-1,8828125, p(c7)=-0,0229<0 implies[,- 1,8828125,- 1,875,].
  • 8ª iteração: [,-1,8828125,-1,875,] to c8=-1,87890625, p(c8)=0,0057>0 implies[,- 1,8828125,,- 1,87890625,].
Como lvert -1,87890625-(-1,8828125)rvert=0,0039<0,01, paramos aqui.

Passo 4

A raiz aproximada é o ponto médio de [,-1,8828125,,-1,87890625,]:
xapprox -1,8828125 + (-1,87890625)2 = -1,880859375
Arredondando para quatro casas decimais, temos xapprox -1,8809.

Resposta

x approx -1,8809

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