Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
2 x^4+9 x^3-80 x^2+21 x+108=0, sabendo que x=4 e x=32 são raízes.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação
2x^4 + 9x^3 - 80x^2 + 21x + 108 = 0,
sabendo que x=4 e x=tfrac32 já são raízes.
O conteúdo principal é fatoração de polinômios e divisão de polinômios para extrair fatores lineares.

Passo 2

Fazemos divisão sintética de
2x^4 + 9x^3 - 80x^2 + 21x + 108
por (x - 4).
Os coeficientes são 2,,9,,-80,,21,,108.
Aplicando a raiz 4 obtemos o polinômio de grau 3:
2x^3 + 17x^2 - 12x - 27

Passo 3

Dividimos
2x^3 + 17x^2 - 12x - 27
por l(x - tfrac32r) usando divisão sintética com 3/2.
Os coeficientes são 2,,17,,-12,,-27.
O quociente é o polinômio de grau 2:
2x^2 + 20x + 18

Passo 4

Agora fatoramos 2x^2 + 20x + 18. Colocando 2 em evidência:
2x^2 + 20x + 18 = 2l(x^2 + 10x + 9r) = 2(x + 1)(x + 9)
Assim o polinômio original fica
2x^4 + 9x^3 - 80x^2 + 21x + 108 = (x - 4)l(x - tfrac32r),2(x + 1)(x + 9)
Para evitar frações, reescrevemos (x - tfrac32)cdot 2 como (2x - 3), obtendo
(x - 4)(2x - 3)(x + 1)(x + 9)

Resposta

As raízes da equação são
x = 4, x = tfrac32, x = -1, x = -9,
e a forma fatorada do polinômio é
(x - 4)(2x - 3)(x + 1)(x + 9)

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