Sabendo que x=2 é uma raiz da equação x^3-2 x^2+16 x-32=0,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio x^3-2 x^2+16 x-32 na forma fatorada;
c) resolva a inequação x^3-2 x^2+16 x-32 <= 0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação ,x^3 - 2 x^2 + 16 x - 32 = 0 e informa que ,x=2 é raiz. Para resolver, usaremos divisão de polinômios para fatorar, depois encontraremos as demais raízes e, por fim, analisaremos o sinal do polinômio para a inequação.

Passo 2

Como ,x=2 é raiz, temos o fator (x-2). Dividindo
,x^3 - 2 x^2 + 16 x - 32 por (x-2), o quociente é x^2+16 e o resto é zero. Logo,
x^3 - 2 x^2 + 16 x - 32 = (x-2),(x^2+16)

Passo 3

Para achar todas as raízes, igualamos cada fator a zero.
De (x-2)=0 vem ,x=2.
De x^2+16=0 vem x^2=-16, sem soluções reais.
Portanto, a única raiz real é ,x=2.

Passo 4

Na forma fatorada sobre R, o polinômio é
x^3 - 2 x^2 + 16 x - 32 = (x-2),(x^2+16)

Passo 5

Para resolver
x^3 - 2 x^2 + 16 x - 32 <= 0
observamos que x^2+16>0 para todo xinR. Logo o sinal do produto é determinado por (x-2). Assim,
(x-2)(x^2+16) <= 0 iff x-2 <= 0 iff x <= 2

Resposta

a) A única raiz real é x=2.
b) x^3 - 2x^2 + 16x - 32 = (x-2)(x^2+16).
c) A solução da inequação é x <= 2.

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