Fazendo a mudança de variável w=x^2, determine os zeros das funções dadas e as escreva na forma fatorada.
p(x)=4 x^4-65 x^2+16

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=4x^4-65x^2+16
e pede para achar os zeros de p e escrevê-la em forma fatorada usando a troca de variável w=x^2. Com isso, reduzimos a fatoração de um polinômio de quarto grau à fatoração de um quadrático em w.

Passo 2

Substituindo w=x^2, o polinômio torna-se
p(x)=4w^2-65w+16

Passo 3

Para encontrar os valores de w, resolvemos
4w^2-65w+16=0
O discriminante é
De<a = (-65)^2-4cdot4cdot16 =4225-256=3969=63^2
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w = 65pm632cdot4 Longrightarrow w1=1288=16, w2=28=tfrac14

Passo 4

Como w=x^2, temos as equações
x^2=16 Longrightarrow x=pm4,
x^2=tfrac14 Longrightarrow x=pmtfrac12
Portanto, os quatro zeros de p são -4,-tfrac12,tfrac12,4.

Passo 5

Para escrever p(x) em forma totalmente fatorada, podemos usar fatores lineares:
p(x)=4,(x-4)(x+4)l(x-tfrac12r)l(x+tfrac12r)
Opcionalmente, agrupando o fator 4 em dois dos fatores:
p(x)=(x-4)(x+4),(2x-1)(2x+1)

Resposta

Os zeros são x=pm4 e x=pmtfrac12, e a fatoração é
p(x)=4,(x-4)(x+4)l(x-tfrac12r)l(x+tfrac12r)

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