Dá-se um trapézio ABCD de bases e de altura . Demonstre que a diferença das áreas dos triângulos que têm por bases e CD, respectivamente, e por vértice oposto o ponto de concurso das diagonais é (a-b) cdot h2.
Passo 1
O enunciado dá um trapézio ABCD com bases paralelas AB e CD, de comprimentos ,AB=a, CD=b (com a>b) e altura h. As diagonais AC e BD se cortam em um ponto P. Precisamos mostrar que
Usamos a propriedade de que, num trapézio, as diagonais se cortam dividindo-se mutuamente em segmentos proporcionais às bases. Em particular em AC temos
APPC=ABCD=ab
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APAC=aa+b e PCAC=ba+b
Passo 3
Como A está sobre a base AB (altura zero) e C sobre a base CD (altura h), o ponto P em AC tem altura, medida perpendicular a AB,
dist(P,AB) =APAC,h =aa+b,h
De modo similar, a distância de P até a base CD é
dist(P,CD) =h-dist(P,AB) =ba+b,h
Passo 4
Agora calculamos as áreas dos dois triângulos:
Área(triang<= PAB) =12,l(ABr),l(dist(P,AB)r) =12,acdotaa+b,h =a^2,h2(a+b), Á
Área(triang<= PCD) =12,l(CDr),l(dist(P,CD)r) =12,bcdotba+b,h =b^2,h2(a+b) Á