Dá-se um trapézio ABCD de bases AB=a, CD=b(a>b) e de altura h. Demonstre que a diferença das áreas dos triângulos que têm por bases A B e CD, respectivamente, e por vértice oposto o ponto de concurso das diagonais é (a-b) cdot h2.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio ABCD com bases paralelas AB e CD, de comprimentos ,AB=a, CD=b (com a>b) e altura h. As diagonais AC e BD se cortam em um ponto P. Precisamos mostrar que
l|Área(triang<= PAB)-Área(triang<= PCD)r|=(a-b),h2 ÁÁ

Passo 2

Usamos a propriedade de que, num trapézio, as diagonais se cortam dividindo-se mutuamente em segmentos proporcionais às bases. Em particular em AC temos
APPC=ABCD=ab
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APAC=aa+b e PCAC=ba+b

Passo 3

Como A está sobre a base AB (altura zero) e C sobre a base CD (altura h), o ponto P em AC tem altura, medida perpendicular a AB,
dist(P,AB) =APAC,h =aa+b,h
De modo similar, a distância de P até a base CD é
dist(P,CD) =h-dist(P,AB) =ba+b,h

Passo 4

Agora calculamos as áreas dos dois triângulos:
Área(triang<= PAB) =12,l(ABr),l(dist(P,AB)r) =12,acdotaa+b,h =a^2,h2(a+b), Á
Área(triang<= PCD) =12,l(CDr),l(dist(P,CD)r) =12,bcdotba+b,h =b^2,h2(a+b) Á

Passo 5

A diferença das áreas é
Área(triang<= PAB)-Área(triang<= PCD) =a^2,h2(a+b)-b^2,h2(a+b) =(a^2-b^2),h2(a+b) =(a-b)(a+b),h2(a+b) =(a-b),h2 ÁÁ

Resposta

A diferença das áreas é dfrac(a-b),h2.

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