O perímetro de um losango é de 60 cm . Calcule a medida de sua área, sabendo que a sua diagonal maior vale o triplo da menor.

Passo 1

O enunciado diz que temos um losango cujo perímetro é de 60 cm e cuja diagonal maior vale o triplo da menor. O conteúdo aqui é geometria de losango: usaremos a relação entre os lados e as diagonais (teorema de Pitágoras no triângulo formado pelas metades das diagonais) e a fórmula da área em função das diagonais.

Passo 2

Como o perímetro é 60 cm e o losango tem quatro lados iguais, cada lado vale
a = 604 = 15 cm

Passo 3

Sejam p e q as diagonais maior e menor, respectivamente. Metade delas formam um triângulo retângulo com hipotenusa a. Logo,
a^2 = l(p2r)^2 + l(q2r)^2

Passo 4

Como p = 3q, substituímos:
15^2 = l(3q2r)^2 + l(q2r)^2 = 9q^24 + q^24 = 10q^24 = 5q^22
Dessa igualdade obtemos
225 = 5q^22 Longrightarrow q^2 = 225 times 25 = 90 Longrightarrow q = 3raiz10 cm

Passo 5

Então a diagonal maior é
p = 3q = 9raiz10 cm

Passo 6

A área do losango em função das diagonais é
A = p,q2 = l(9raiz10r)l(3raiz10r)2 = 27 times 102 = 135 cm^2

Resposta

A área do losango é 135 cm^2.

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