Sendo r o raio do círculo inscrito e ra, rb, rc os raios dos círculos ex-inscritos num triângulo de área S, prove que:
[
S=\sqrt{r \cdot r_{a} \cdot r_{b} \cdot r_{c}}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo de área S=raizr,ra,rb,rc , semiperímetro , in-círculo de raio e ex-círculos de raios . Queremos mostrar que
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de in-raio e ex-raio e a fórmula de Heron para a área.

Passo 2

Recordando as fórmulas:
r = Ss, ra = Ss-a, rb = Ss-b, rc = Ss-c,
onde são os lados do triângulo e .

Passo 3

Multiplicamos essas quatro expressões:
r,ra,rb,rc = Ss;Ss-a;Ss-b;Ss-c = S^4s(s-a)(s-b)(s-c)

Passo 4

Pela fórmula de Heron, temos
S = raizs(s-a)(s-b)(s-c),
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s(s-a)(s-b)(s-c)=S^2
Substituindo em cima,
r,ra,rb,rc = S^4S^2 = S^2

Passo 5

Como raizr,ra,rb,rc = raizS^2 = S, , segue
que é justamente o que queríamos provar.

Resposta

S=raizr,ra,rb,rc

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