Sendo
o raio do círculo inscrito
os raios dos círculos ex-inscritos num triângulo de área
, prove que:
[
S=\sqrt{r \cdot r_{a} \cdot r_{b} \cdot r_{c}}
S=\sqrt{r \cdot r_{a} \cdot r_{b} \cdot r_{c}}
Passo 1
O enunciado dá um triângulo de área
, semiperímetro
, in-círculo de raio
e ex-círculos de raios
. Queremos mostrar que
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de in-raio e ex-raio e a fórmula de Heron para a área.
Passo 2
Recordando as fórmulas:
onde
são os lados do triângulo e
.
Passo 3
Multiplicamos essas quatro expressões:
Passo 4
Pela fórmula de Heron, temos
logo
Substituindo em cima,
Passo 5
Como
, segue
que é justamente o que queríamos provar.