Sendo o raio do círculo inscrito os raios dos círculos ex-inscritos num triângulo de área , prove que:

Passo 1

O enunciado dá um triângulo de área S, semiperímetro s, in-círculo de raio r e ex-círculos de raios ra,rb,rc. Queremos mostrar que
S=raizr,ra,rb,rc
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de in-raio e ex-raio e a fórmula de Heron para a área.

Passo 2

Recordando as fórmulas:
r = Ss, ra = Ss-a, rb = Ss-b, rc = Ss-c,
onde a,b,c são os lados do triângulo e s=a+b+c2.

Passo 3

Multiplicamos essas quatro expressões:
r,ra,rb,rc = Ss;Ss-a;Ss-b;Ss-c = S^4s(s-a)(s-b)(s-c)

Passo 4

Pela fórmula de Heron, temos
S = raizs(s-a)(s-b)(s-c),
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s(s-a)(s-b)(s-c)=S^2
Substituindo em cima,
r,ra,rb,rc = S^4S^2 = S^2

Passo 5

Como S>0, segue
raizr,ra,rb,rc = raizS^2 = S,
que é justamente o que queríamos provar.

Resposta

S=raizr,ra,rb,rc

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