Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p e q, para que se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mesma progressão aritmética:
am+an=ap+aq.

Passo 1

O enunciado diz que am,an,ap,aq são termos da mesma progressão aritmética (P.A.) e pede uma relação entre os índices m,n,p,q para que
am+an=ap+aq
Para resolver, vamos usar a expressão do termo geral de uma P.A.

Passo 2

Em qualquer P.A. com primeiro termo a1 e razão d, o k-ésimo termo vale
ak=a1+(k-1),d
Logo podemos escrever
am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d,
ap=a1+(p-1)d, aq=a1+(q-1)d

Passo 3

Agora somamos os termos indicados pelo enunciado:
am+an = l[a1+(m-1)dr] + l[a1+(n-1)dr] =2a1 + (m+n-2),d,
ap+aq = l[a1+(p-1)dr] + l[a1+(q-1)dr] =2a1 + (p+q-2),d

Passo 4

Para que am+an=ap+aq seja verdade, precisamos de
2a1 + (m+n-2),d = 2a1 + (p+q-2),d
Subtraindo 2a1 e dividindo por d (assumindo dneq0), obtemos
m+n-2 = p+q-2 Longrightarrow m+n = p+q

Resposta

A condição necessária e suficiente é
m + n = p + q

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