Determine a relação entre os volumes de dois troncos de pirâmides de igual altura obtidos da seção por um plano paralelo às bases de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo a e b as áreas das bases do tronco de pirâmide primitivo.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide de altura H cujas áreas das bases são ,a (base maior) e ,b (base menor). Um plano paralelo às bases corta o tronco ao meio de sua altura, produzindo dois troncos de igual altura H/2. Vamos chamar de V1 o volume do tronco inferior (entre a base de área a e a seção) e de V2 o volume do tronco superior (entre a seção e a base de área b). Usaremos:
  1. semelhança de perfis para achar a área da seção, digamos c;
  2. a fórmula do volume de um tronco de pirâmide de altura h e bases de áreas B1,B2:
V=h3l(B1+raizB1B2+B2r)

Passo 2

Pela semelhança de perfis, a aresta característica do perfil varia linearmente com a altura. Sejam L e ell as arestas correspondentes às bases de áreas a=L^2 e b=ell^2. No plano médio, a aresta vale (L+ell)/2, logo
c=l(L+ell2r)^2 =L^2+2Lell+ell^24 =a+2raizab+b4

Passo 3

Para o tronco inferior (altura h=H/2, bases a e c) temos
V1=H/23l(a+raizac+cr),
e para o tronco superior (altura H/2, bases c e b)
V2=H/23l(c+raizbc+br)
Como H/2 e 1/3 são comuns, a razão é
V1V2 =a+raizac+cc+raizbc+b

Passo 4

Substituindo c=(a+2raizab+b)/4, obtemos
raizac =raiza,raizc =raiza,L+ell2 =a+raizab2, raizbc=b+raizab2
Então, no numerador de V1/V2:
a+a+raizab2+a+2raizab+b4 =7a+4raizab+b4,
e no denominador:
a+2raizab+b4+b+raizab2+b =a+4raizab+7b4
Portanto
V1V2 =7a+4raizab+ba+4raizab+7b

Resposta

V1:V2 =l(7a+4raizab+br) :l(a+4raizab+7br)

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