Determine a relação entre os volumes de dois troncos de pirâmides de igual altura obtidos da seção por um plano paralelo às bases de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo
e
as áreas das bases do tronco de pirâmide primitivo.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide de altura
cujas áreas das bases são
(base maior) e
(base menor). Um plano paralelo às bases corta o tronco ao meio de sua altura, produzindo dois troncos de igual altura
. Vamos chamar de
o volume do tronco inferior (entre a base de área
e a seção) e de
o volume do tronco superior (entre a seção e a base de área
). Usaremos:
- semelhança de perfis para achar a área da seção, digamos
; - a fórmula do volume de um tronco de pirâmide de altura
e bases de áreas :
Passo 2
Pela semelhança de perfis, a aresta característica do perfil varia linearmente com a altura. Sejam
e
as arestas correspondentes às bases de áreas
e
. No plano médio, a aresta vale
, logo
Passo 3
Para o tronco inferior (altura
, bases
e
) temos
e para o tronco superior (altura
, bases
e
)
Como
e
são comuns, a razão é
Passo 4
Substituindo
, obtemos
Então, no numerador de
:
e no denominador:
Portanto