Determine os restos das divisões por 4, 9 e 11 do produto: 9.517 times 804.152 times 37.286.

Passo 1

O enunciado pede os restos da divisão por 4, 9 e 11 do produto dos três inteiros
9517, 804152, 37286
O conteúdo aqui é aritmética modular: para cada módulo m vamos calcular cada fator em bmod m e depois multiplicar, simplificando em cada passo.

Passo 2

Restante em bmod 4. Basta olhar os dois últimos dígitos de cada número:
9517 tem últimos dígitos 17, então
9517 equiv 17 equiv 1 pmod4,
804152 tem últimos dígitos 52, então
804152 equiv 52 equiv 0 pmod4,
e qualquer produto com zero é zero, logo
9517 times 804152 times 37286 equiv 1 times 0 times (dots) equiv 0 pmod4

Passo 3

Restante em bmod 9. Usamos a soma dos dígitos:
9517: 9+5+1+7=22, então
9517equiv 22equiv 4pmod9
804152: 8+0+4+1+5+2=20, então
804152equiv 20equiv 2pmod9
37286: 3+7+2+8+6=26, então
37286equiv 26equiv 8pmod9
Multiplicando os resíduos:
4 times 2 times 8 = 64 equiv 64 - 7cdot9 = 64-63 = 1 pmod9

Passo 4

Restante em bmod 11. Calculamos cada fator em bmod 11:
9517 em bmod 11: divido por 11, fica resto
9517 - 11cdot865 = 9517 - 9515 = 2,
logo 9517equiv2pmod11
804152 em bmod 11:
804152 - 11cdot73104 = 804152 - 804144 = 8,
logo 804152equiv8pmod11
37286 em bmod 11: pelo critério do 11 (soma alternada dos dígitos):
(6+2+3) - (8+7) = 11 - 15 = -4 equiv 7pmod11,
ou seja, 37286equiv7pmod11
Agora o produto:
2 times 8 times 7 = 112 equiv 112 - 10cdot11 = 112 - 110 = 2 pmod11

Resposta

Resto da divisão por 4: 0
Resto da divisão por 9: 1
Resto da divisão por 11: 2

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