Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
tan (x)=2

Passo 1

O enunciado dá tan(x)=2 com 0<= x<=pi2, ou seja, x está no primeiro quadrante. Vamos usar as identidades trigonométricas básicas para encontrar sin(x) e cos(x), e em seguida aplicar as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x)=2sin(x)cos(x),
cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x),
tan(2x)=2tan(x)1-tan^2(x)

Passo 2

A partir de tan(x)=sin(x)cos(x)=2, montamos um triângulo retângulo de catetos 2 e 1 (oposto e adjacente). A hipotenusa é
raiz2^2+1^2=raiz5
Como x está no primeiro quadrante, sin(x) e cos(x) são positivos, logo
sin(x)=2raiz5, cos(x)=1raiz5

Passo 3

Usando sin(2x)=2sin(x)cos(x), temos
sin(2x) =2cdot2raiz5cdot1raiz5 =45

Passo 4

Para cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x), substituímos:
cos^2(x)=l(1raiz5r)^2=15, sin^2(x)=l(2raiz5r)^2=45,
então
cos(2x) =15-45 =-35

Passo 5

Para tan(2x) usamos diretamente
tan(2x)=2tan(x)1-tan^2(x) =2cdot 21-2^2 =41-4 =-43

Resposta

sin(2x)=45, cos(2x)=-35, tan(2x)=-43

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