Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
tan (x)=65

Passo 1

O enunciado pede para determinar sin(2x), cos(2x) e tan(2x) sabendo que tan(x)=tfrac65 e que 0<= x<= tfracpi2. Vamos usar as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x)=2sin xcos x, cos(2x)=cos^2x-sin^2x, tan(2x)=sin(2x)cos(2x)

Passo 2

Para aplicar essas fórmulas, primeiro obtemos sin x e cos x a partir de tan(x)=tfrac65. Num triângulo retângulo com cateto oposto 6 e adjacente 5, a hipotenusa vale raiz6^2+5^2=raiz61. Logo,
sin x = 6raiz61, cos x = 5raiz61

Passo 3

Agora calculamos sin(2x) pela identidade de ângulo duplo:
sin(2x) = 2,sin x,cos x = 2 cdot 6raiz61cdot 5raiz61 = 6061

Passo 4

Em seguida, cos(2x) pela diferença de quadrados:
cos(2x) = cos^2x - sin^2x = 2561 - 3661 = -1161

Passo 5

Finalmente, tan(2x) é o quociente entre sin(2x) e cos(2x):
tan(2x) = sin(2x)cos(2x) = tfrac6061-tfrac1161 = -6011

Resposta

sin(2x)=6061, cos(2x)=-1161, tan(2x)=-6011

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