Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
sen(x)=raiz53

Passo 1

O enunciado dá sin(x)=raiz53 com 0<= x<=pi2 e pede sin(2x), cos(2x) e tan(2x). Para isso vamos precisar usar (1) a relação pitagórica sin^2(x)+cos^2(x)=1 para achar cos(x) e (2) as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x)=2sin(x)cos(x), cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x), tan(2x)=sin(2x)cos(2x)

Passo 2

Calculamos cos(x) pela relação pitagórica. Como sin(x)=raiz53,
cos^2(x)=1-sin^2(x) =1-l(raiz53r)^2 =1-59 =49,
e como x está no primeiro quadrante ( 0<= x<=pi2), temos o sinal positivo
cos(x)=23

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x) =2sin(x)cos(x) =2cdotraiz53cdot23 =4raiz59,
cos(2x) =cos^2(x)-sin^2(x) =49-59 =-19,
tan(2x) =sin(2x)cos(2x) =tfrac4raiz59-tfrac19 =-4raiz5

Resposta

sin(2x)=4raiz59, cos(2x)=-19, tan(2x)=-4raiz5

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