A partir da identidade de quociente tan (x)=sen(x) / cos (x) e das fórmulas de sen(a+b) e cos (a+b), demonstre a fórmula de tan (a+b). Dica: use o fato de que, se cos (a) neq 0 e cos (b) neq 0, então
xy=xcos (a) cos (b)ycos (a) cos (b)

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar a fórmula de
tan(a+b)
usando
tan x = dfracsenxcos x
e as fórmulas de soma
sen(a+b)=senacos b + cos a,senb, cos(a+b)=cos acos b - sena,senb
Além disso, sabemos que se cos aneq0 e cos bneq0 então, para quaisquer x,y,
xy = dfracxcos acos bdfracycos acos b

Passo 2

Começamos escrevendo
tan(a+b) = sen(a+b)cos(a+b)
Substituindo as identidades de soma de seno e cosseno, temos
tan(a+b) = senacos b + cos a,senb cos acos b - sena,senb

Passo 3

Para expressar tudo em termos de tan, dividimos numerador e denominador por cos acos b:
tan(a+b) = senacos b + cos a,senb cos acos b cos acos b - sena,senb cos acos b

Passo 4

Analisamos separadamente cada fração:
senacos bcos acos b = senacos a = tan a, cos a,senbcos acos b = senbcos b = tan b,
cos acos bcos acos b =1, sena,senbcos acos b = senacos a,senbcos b = tan a,tan b
Logo o numerador vira tan a + tan b e o denominador vira 1 - tan a,tan b.

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula original, obtemos
tan(a+b) = tan a + tan b1 - tan a,tan b,
que é exatamente a identidade buscada.

Resposta

tan(a+b) = tan a + tan b1 - tan a,tan b

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