Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
sen(x)=34

Passo 1

O enunciado dá sin x = tfrac34 com 0 <= x <= tfracpi2 e pede sin(2x), cos(2x) e tan(2x). Vamos usar as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x) = 2sin xcos x,
cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x,
tan(2x) = 2tan x1 - tan^2 x

Passo 2

Como x está no primeiro quadrante, cos x é positiva e obedece à identidade pitagórica:
cos x = raiz1 - sin^2 x = raiz1 - 916 = raiz716 = raiz74

Passo 3

Aplicando sin(2x) = 2sin xcos x:
sin(2x) = 2 cdot 34 cdot raiz74 = 6raiz716 = 3raiz78

Passo 4

Aplicando cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x:
cos(2x) = 716 - 916 = -216 = -18

Passo 5

Primeiro achamos tan x:
tan x = sin xcos x = tfrac34tfracraiz74 = 3raiz7
Em seguida usamos tan(2x) = tfrac2tan x1-tan^2 x:
tan(2x) = 2cdot 3raiz71 - 97 = 6raiz7-27 = -21raiz7 = -3raiz7

Resposta

sin(2x)=3raiz78
cos(2x)=-18
tan(2x)=-3raiz7

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