Sem usar calculadora, mas apenas as fórmulas de arco metade, determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos abaixo.
112,5^circ

Passo 1

O enunciado pede sin(112,5^circ), cos(112,5^circ) e tan(112,5^circ) usando apenas as fórmulas de arco-metade. Vamos usar as fórmulas
sinl(tfractheta2r)=pmraiz1-costheta2 e cosl(tfractheta2r)=pmraiz1+costheta2,
além de determinar o sinal correto no quadrante em que 112,5^circ se encontra (quadrante II).

Passo 2

Observamos que
112,5^circ = 225^circ2
Como referência, sabemos que
cos(225^circ)=-raiz22, sin(225^circ)=-raiz22

Passo 3

Usando a fórmula de arco-metade para o seno e lembrando que 112,5^circ está no quadrante II (logo sin>0), temos
sin(112,5^circ) =sinl(tfrac225^circ2r) =+raiz1-cos(225^circ)2 =raiz1-(-raiz22)2 =raiz1+raiz222 =raiz2+raiz222 =raiz2+raiz22

Passo 4

Usando a fórmula de arco-metade para o cosseno e lembrando que em quadrante II cos<0, temos
cos(112,5^circ) =cosl(tfrac225^circ2r) =-raiz1+cos(225^circ)2 =-raiz1+(-raiz22)2 =-raiz2-raiz222 =-raiz2-raiz22

Passo 5

Para a tangente basta fazer o quociente e simplificar:
tan(112,5^circ) =sin(112,5^circ)cos(112,5^circ) =raiz2+raiz22-raiz2-raiz22 =-raiz2+raiz22-raiz2 =-raiz3+2raiz2 =-(raiz2+1)

Resposta

sin(112,5^circ)=raiz2+raiz22, cos(112,5^circ)=-raiz2-raiz22, tan(112,5^circ)=-(raiz2+1)

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