Resolva as equações abaixo supondo que -pi<x <= pi.
sen(x)+cos (x)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver
sen(x)+cos(x)=-1
no intervalo -pi < x <= pi.
O conteúdo é soma de funções trigonométricas e usaremos a identidade que combina sen e cos num único seno deslocado.

Passo 2

Usamos a identidade
sen(x)+cos(x)=raiz2,sen!l(x+tfracpi4r)
Assim, a equação fica
raiz2,sen!l(x+tfracpi4r)=-1
ou seja
sen!l(x+tfracpi4r)=-1raiz2=-raiz22

Passo 3

As soluções gerais de
sen(theta)=-raiz22
são
theta=-pi4+2pi k ou theta=5pi4+2pi k,
com kinZ. Aqui theta = x+tfracpi4.

Passo 4

Substituindo theta=x+tfracpi4:
  1. x+tfracpi4=-tfracpi4+2pi k
    implies x=-tfracpi2+2pi k
  2. x+tfracpi4=tfrac5pi4+2pi k
    implies x=pi+2pi k

Passo 5

Procuramos soluções em -pi<x<=pi:
  • Para x=-tfracpi2+2pi k:
    k=0implies x=-tfracpi2in(-pi,pi]. Outros k saem do intervalo.
  • Para x=pi+2pi k:
    k=0implies x=piin(-pi,pi]. Para k=-1 x=-pi, que não está incluído.
Logo as únicas soluções são
x=-tfracpi2 e x=pi

Resposta

x=-tfracpi2ou x=pi

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