Prove as identidades abaixo usando as fórmulas de transformação em produto.
sen(5 x)+sen(7 x)cos (5 x)-cos (7 x)=cot (x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
sin(5x)+sin(7x)cos(5x)-cos(7x)=cot(x)
usando fórmulas que transformam soma/diferença de senos e cossenos em produto. As principais que vamos usar são:
sin A + sin B = 2,sin!l(tfracA+B2r)cos!l(tfracA-B2r),
cos A - cos B = -2,sin!l(tfracA+B2r)sin!l(tfracA-B2r)

Passo 2

Aplicando a fórmula em sin(5x)+sin(7x), com A=5x e B=7x, vem
sin(5x)+sin(7x) =2,sin!l(tfrac5x+7x2r), cos!l(tfrac5x-7x2r) =2,sin(6x),cos(-x)
Como cos(-x)=cos x, obtemos
sin(5x)+sin(7x)=2,sin(6x),cos x

Passo 3

Agora a diferença cos(5x)-cos(7x). Usando A=5x e B=7x na fórmula,
cos(5x)-cos(7x) =-2,sin!l(tfrac5x+7x2r), sin!l(tfrac5x-7x2r) =-2,sin(6x),sin(-x)
Como sin(-x)=-sin x, isso vira
cos(5x)-cos(7x)=-2,sin(6x),(-sin x) =2,sin(6x),sin x

Passo 4

Substituindo os resultados nos numerador e denominador originais, o quociente fica
sin(5x)+sin(7x)cos(5x)-cos(7x) =2,sin(6x),cos x2,sin(6x),sin x =cos xsin x =cot(x)

Resposta

sin(5x)+sin(7x)cos(5x)-cos(7x)=cot(x).

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