13 Determine todos os números y tais que \ln \left(y^{2}+1\right)=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números reais y tais que
\ln\bigl(y^{2}+1\bigr)=3.
O conteúdo que vamos usar é a definição de logaritmo natural e a sua inversão pela exponenciação: se \ln(A)=B, então A=e^{B}.

Passo 2

Aplicando exponenciação em ambos os lados da equação, obtemos
y^{2}+1 = e^{3}.

Passo 3

Isolando y^{2}, temos
y^{2} = e^{3} - 1.
Como e^{3}>1, o lado direito é positivo, o que garante duas soluções reais para y.

Passo 4

Extraindo raiz quadrada, as soluções são
y = +\sqrt{e^{3}-1} \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{e^{3}-1}.

Resposta

y = \pm \sqrt{e^{3}-1}.

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