Determine todos os números de três algarismos divisíveis por 2 e 11 e no qual o algarismo das dezenas seja 2.

Passo 1

Resumindo, queremos todos os números de três algarismos que satisfazem:
  1. É divisível por 2 e por 11 (logo é divisível por 22).
  2. O algarismo das dezenas é 2.
    Chamando de a o algarismo das centenas e de c o das unidades, o número vale
a2c = 100a + 20 + c,
com 1 <= a <= 9 e 0 <= c <= 9.

Passo 2

Para que a2c seja divisível por 2, o último dígito c deve ser par, isto é,
c in 0,2,4,6,8
Para que seja divisível por 11, vale o critério de que a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares é múltiplo de 11. Aqui as posições ímpares são centenas e unidades, e a par é a dezena. Logo precisamos de
(a + c) - 2 equiv 0 pmod11,
isto é,
a + c = 2 ou a + c = 13,
pois 1<= a<=9 e 0<= c<=9 faz 1<= a+c<=18.

Passo 3

Resolvendo a + c = 2 com c par e 1<= a<=9:
O único par que funciona é c=0 e então a=2. Isso dá o número
2,2,0 = 220

Passo 4

Resolvendo a + c = 13 com cin0,2,4,6,8:
  • Se c=4 então a=9, número 924.
  • Se c=6 então a=7, número 726.
  • Se c=8 então a=5, número 528.
    Os demais valores de c não geram a inteiro entre 1 e 9.

Resposta

Os números pedidos são
220, 528, 726 e 924.

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