Substitua as letras y e z no número 4 y 5 z, de modo que, dividido por 5 e por 9, deixe resto 2.

Passo 1

O enunciado pede que preenchamos os dígitos y e z no número 4y5z de modo que esse número deixe resto 2 na divisão por 5 e também resto 2 na divisão por 9. Vamos usar aritmética modular para resolver.

Passo 2

Escrevendo o número
N = 4y5z = 4000 + 100y + 50 + z = 4050 + 100y + z,
vemos que, em módulo 5, como 4050equiv0pmod5 e 100yequiv0pmod5, sobra
N bmod 5 equiv z bmod 5
Como queremos Nbmod5=2, concluímos
zequiv2pmod5Longrightarrow zin2,7

Passo 3

Em módulo 9, note que 4050=9times450equiv0pmod9 e 100equiv1pmod9, logo
N bmod9 equiv (100y + z)bmod9 equiv (y + z)bmod9
Queremos Nbmod9=2, portanto
y + z equiv 2pmod9 Longrightarrow yequiv 2 - z pmod9

Passo 4

Agora testamos as duas possibilidades para z:
  • Se z=2, então yequiv2-2=0pmod9. Como y é dígito, yin0,9.
  • Se z=7, então yequiv2-7=-5equiv4pmod9. Como 0<= y<=9, fica y=4.

Passo 5

Reunindo as soluções válidas (y,z):
(y,z)in(0,2),,(9,2),,(4,7)
Isso corresponde aos números
4052, 4952, 4457,
cada um deixando resto 2 tanto na divisão por 5 quanto na divisão por 9.

Resposta

As soluções são
;y=0, z=2; y=9, z=2; y=4, z=7

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