Determine o valor de k para o qual o número 1 k 31 k 4 é divisível por 12 mas não é por 9 .

Passo 1

O enunciado pede para achar o dígito k tal que o número de seis algarismos
1,k,3,1,k,4
seja divisível por 12 mas não seja divisível por 9.
Para isso, vamos usar as regras de divisibilidade por 4, por 3 (já que 12=3cdot 4) e por 9.

Passo 2

Para o número ser divisível por 4, os dois últimos dígitos formados devem ser divisíveis por 4.
Aqui, os dois últimos dígitos são k4, ou seja o número 10k+4.
A condição é
10k+4 equiv 0 pmod4
Como 10equiv2pmod4 e 4equiv0pmod4, temos
2k equiv 0 pmod4 Longrightarrow kequiv 0pmod2
Logo, k é par:
kin0,2,4,6,8

Passo 3

Para o número ser divisível por 3, a soma dos dígitos deve ser múltiplo de 3.
A soma dos dígitos é
1 + k + 3 + 1 + k + 4 = 9 + 2k
Precisamos de
9 + 2k equiv 0 pmod3 Longrightarrow 2k equiv 0 pmod3 Longrightarrow kequiv 0 pmod3
Portanto
kin0,3,6,9

Passo 4

Fazendo a interseção das condições de paridade e de múltiplo de 3, temos
0,2,4,6,8,cap,0,3,6,9 = 0,6
Então só k=0 ou k=6 tornam o número divisível por 12.

Passo 5

Falta garantir que o número não seja divisível por 9. Para isso, a soma dos dígitos 9+2k não pode ser múltiplo de 9.
  • Se k=0, soma =9+0=9, que é múltiplo de 9 (descarta).
  • Se k=6, soma =9+12=21, que não é múltiplo de 9 (aceita).

Resposta

O único valor que satisfaz é
k = 6

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