Determine o valor de que satisfaz o sistema de equações lineares:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em (x1,x2,x3,x4) cujas colunas envolvem somas e produtos simétricos dos parâmetros a,b,c,d. O objetivo é encontrar explicitamente x3 em função de a,b,c,d e do valor B. O conteúdo principal aqui é reconhecer a relação com polinômios de Lagrange e polinômios cujas raízes são a,b,c,d.
Passo 2
Note que os coeficientes de cada equação são exatamente os polinômios simétricos e0^(i)=1,;e1^(i)=sumjne irj,;e2^(i)=sumj<k,,(j,kne i)rjrk,;e3^(i)=prodjne irj
avaliados em r1=a,r2=b,r3=c,r4=d. Escrevendo genericamente
vemos que isso equivale a anular os coeficientes de u^3,u^2,u num certo polinômio de grau <=3 e fixar o termo constante.
Passo 3
Definimos o polinômio
Q(u)=sumi=1^4xi,prodjne i(u-rj),
onde (r1,r2,r3,r4)=(a,b,c,d). Ao expandir Q(u) em potências de u, os coeficientes de u^3,u^2,u e u são exatamente sum xie0^(i),,-sum xie1^(i),,+sum xie2^(i), todos nulos pelos três primeiros equações, e o termo independente é -sum xie3^(i)=-B. Logo
Q(u)=-Bpara todo u
Passo 4
Basta avaliar Q(u) em u=c. Como só o termo i=3 sobrevive, temos
Q(c)=x3,(c-a)(c-b)(c-d)=-B
Assim
x3=-B(c-a)(c-b)(c-d)
Reescrevendo o sinal no denominador, obtemos a forma habitual:
Resposta
x3=B(a-c)(b-c)(d-c)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 442