Determine o valor de x3 que satisfaz o sistema de equações lineares:
lllll x1 & +x2 & +x3 & +x4 & =0 x1(b+c+d) & +x2(a+c+d) & +x3(a+b+d) & +x4(a+b+c) & =0 x1(b c+b d+c d) & +x2(a c+a d+c d) & +x3(a b+a d+b d) & +x4(a b+a c+b c) & =0 x1 b c d & +x2 a c d & +x3 a b d & +x4 a b c & =B

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em (x1,x2,x3,x4) cujas colunas envolvem somas e produtos simétricos dos parâmetros a,b,c,d. O objetivo é encontrar explicitamente x3 em função de a,b,c,d e do valor B. O conteúdo principal aqui é reconhecer a relação com polinômios de Lagrange e polinômios cujas raízes são a,b,c,d.

Passo 2

Note que os coeficientes de cada equação são exatamente os polinômios simétricos
e0^(i)=1,;e1^(i)=sumjne irj,;e2^(i)=sumj<k,,(j,kne i)rjrk,;e3^(i)=prodjne irj
avaliados em r1=a,r2=b,r3=c,r4=d. Escrevendo genericamente
sumi=1^4xi,ek^(i)=0(k=0,1,2), sumi=1^4xi,e3^(i)=B,
vemos que isso equivale a anular os coeficientes de u^3,u^2,u num certo polinômio de grau <=3 e fixar o termo constante.

Passo 3

Definimos o polinômio
Q(u)=sumi=1^4xi,prodjne i(u-rj),
onde (r1,r2,r3,r4)=(a,b,c,d). Ao expandir Q(u) em potências de u, os coeficientes de u^3,u^2,u e u são exatamente sum xie0^(i),,-sum xie1^(i),,+sum xie2^(i), todos nulos pelos três primeiros equações, e o termo independente é -sum xie3^(i)=-B. Logo
Q(u)=-Bpara todo u

Passo 4

Basta avaliar Q(u) em u=c. Como só o termo i=3 sobrevive, temos
Q(c)=x3,(c-a)(c-b)(c-d)=-B
Assim
x3=-B(c-a)(c-b)(c-d)
Reescrevendo o sinal no denominador, obtemos a forma habitual:

Resposta

x3=B(a-c)(b-c)(d-c)

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