Prove que, se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual a n+1 vezes a metade do enésimo termo, então r=a1.

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo a1 e razão r, em que a soma dos primeiros n termos satisfaz
Sn = n+12,an
Queremos usar a fórmula da soma de PA e a expressão do termo geral para achar a relação entre a1 e r.

Passo 2

Recordando as fórmulas básicas de PA:
an = a1 + (n-1),r,
Sn = n2,l(2a1 + (n-1),rr)

Passo 3

Impondo a condição dada, temos
n2,l(2a1 + (n-1),rr) = n+12,l(a1 + (n-1),rr)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 e distribuindo, vem
n,(2a1 + (n-1),r) = (n+1),(a1 + (n-1),r)
Isso expande para
2n,a1 + n(n-1),r = (n+1),a1 + (n^2-1),r
Reagrupando termos em a1 e em r fica
(2n - (n+1)),a1 + l(n(n-1) - (n^2-1)r),r = 0
Longrightarrow (n-1),(a1 - r) = 0

Resposta

Como n>1 implica n-1neq0, concluímos que
r = a1

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