Determine a P.A. em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.

Solução

Determinar uma P.A. é obter a1 e r. Temos:
a20=2 Rightarrow a1+19 r=2
S50=650 Rightarrow 50(2 a1+49 r)2=650 Rightarrow 2 a1+49 r=26
Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2), obtemos a1=-36 e r=2. Portanto, a P.A. procurada é ( -36,-34,-32, ldots ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os parâmetros de uma P.A., isto é, o primeiro termo a1 e a razão r, sabendo que o vigésimo termo vale 2 e que a soma dos 50 primeiros termos é 650. Vamos usar as fórmulas do termo geral e da soma de uma P.A.

Passo 2

O termo geral de uma P.A. de primeiro termo a1 e razão r é
an = a1 + (n-1),r
Para n=20, temos
a20 = a1 + 19,r = 2

Passo 3

A soma dos primeiros n termos de uma P.A. é dada por
Sn = n2,l(2a1 + (n-1),rr)
Para n=50 e S50=650,
S50 = 502,l(2a1 + 49,rr) = 650 Longrightarrow 25,(2a1 + 49r) = 650 Longrightarrow 2a1 + 49r = 26

Passo 4

Isso gera o sistema
a1 + 19r = 2,[6pt] 2a1 + 49r = 26
Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda:
(2a1 + 49r) - (2a1 + 38r) = 26 - 4 Longrightarrow 11r = 22 Longrightarrow r = 2 ]

Passo 5

Substituindo r=2 em a1 + 19r = 2, vem
a1 + 19cdot2 = 2 Longrightarrow a1 + 38 = 2 Longrightarrow a1 = -36

Resposta

A P.A. procurada tem primeiro termo a1 = -36 e razão r = 2.
Seus primeiros termos são
-36,,-34,,-32,dots

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