Determine o volume e a área de um sólido gerado por um triângulo equilátero ABC que faz uma rotação de
em torno de um eixo que é perpendicular à sua altura AM e passa pelo vértice A do triângulo, sabendo que a medida do lado do triângulo é igual a m.
Passo 1
O enunciado descreve um triângulo equilátero
de lado
cuja altura
vale
e pede o volume e a área da superfície do sólido obtido ao girar todo o triângulo em torno de um eixo que passa por
e é perpendicular a
. Para resolver, vamos usar o Teorema de Pappus para o volume e calcular diretamente as áreas geradas pelas arestas na revolução.
Passo 2
Colocamos o triângulo no plano
com
,
e
,
de modo que o eixo de rotação seja o eixo . A área do triângulo é
de modo que o eixo de rotação seja o eixo
e o centróide
está em
é a distância de
ao eixo.
Passo 3
Pelo Teorema de Pappus, o volume do sólido gerado é
Passo 4
As arestas do triângulo geram três superfícies:
– As arestas e
giram e formam duas superfícies cônicas idênticas, cada uma com raio da base
– As arestas
e geratriz (comprimento de
) igual a
. A área lateral de cada cone é
logo as duas juntas dão
– A aresta
é paralela ao eixo e está a distância
, de modo que a revolução gera um cilindro de raio
e altura
. A área lateral desse cilindro é
Somando as três superfícies, obtemos a área total
Resposta
Volume:
Área da superfície: