Determine o volume e a área de um sólido gerado por um triângulo equilátero ABC que faz uma rotação de 360^circ em torno de um eixo que é perpendicular à sua altura AM e passa pelo vértice A do triângulo, sabendo que a medida do lado do triângulo é igual a m.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo equilátero ABC de lado m cuja altura AM vale
h = raiz32,m
e pede o volume e a área da superfície do sólido obtido ao girar todo o triângulo em torno de um eixo que passa por A e é perpendicular a AM. Para resolver, vamos usar o Teorema de Pappus para o volume e calcular diretamente as áreas geradas pelas arestas na revolução.

Passo 2

Colocamos o triângulo no plano xy com
;A=(0,0),
;B=(-tfracm2,h) e
;C=(tfracm2,h),
de modo que o eixo de rotação seja o eixo x. A área do triângulo é
Atriang<= = mcdot h2 = m^2raiz34,
e o centróide G está em
Gl(0,tfrac2h3r) Longrightarrow d = 2h3 = mraiz33
é a distância de G ao eixo.

Passo 3

Pelo Teorema de Pappus, o volume do sólido gerado é
V = 2pi,d,Atriang<= = 2pi !l(mraiz33r)!l(m^2raiz34r) = pi,m^32

Passo 4

As arestas do triângulo geram três superfícies:
– As arestas AB e AC giram e formam duas superfícies cônicas idênticas, cada uma com raio da base
r = dist(B,eixo) = h = raiz32m
e geratriz (comprimento de AB) igual a m. A área lateral de cada cone é
pi,r,m = pil(tfracraiz32mr)m = pi m^2raiz32,
logo as duas juntas dão
2cdotpi m^2raiz32 = pi m^2raiz3
– A aresta BC é paralela ao eixo e está a distância h, de modo que a revolução gera um cilindro de raio h e altura BC=m. A área lateral desse cilindro é
2pi,hcdot m = 2pil(tfracraiz32mr)m = pi m^2raiz3
Somando as três superfícies, obtemos a área total
S = pi m^2raiz3 + pi m^2raiz3 = 2pi m^2raiz3

Resposta

Volume:
V = pi,m^32
Área da superfície:
S = 2pi,m^2raiz3

Exercícios de Livros Relacionados