Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é
, sendo
a distância do centro da base à geratriz do cone.
Passo 1
Temos um cone de revolução com área lateral dada por
e a distância do centro da base à geratriz vale
. Queremos o volume desse cone, usando as fórmulas de área lateral, distância de ponto a reta num triângulo e Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Sejam
o raio da base,
a geratriz (slant height) e
a altura do cone.
A área lateral de um cone é
A área lateral de um cone é
Como
, obtemos
Passo 3
No triângulo formado pelo vértice
, pelo centro da base
e por um ponto da circunferência
, temos
,
,
e
. A área desse triângulo é
também igual a
Igualando as áreas:
Passo 4
Substituindo
e
em
, temos
Logo
Passo 5
O Teorema de Pitágoras em
dá
Substituindo
e
:
Multiplicando por
e reorganizando surge
cuja solução positiva é
, ou seja
.
Passo 6
Com
temos
Logo o volume do cone é