Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é 60 pi cm^2, sendo 4,8 cm a distância do centro da base à geratriz do cone.

Passo 1

Temos um cone de revolução com área lateral dada por ;Srm lat=60pi;cm^2 e a distância do centro da base à geratriz vale ;d=4,8;cm. Queremos o volume desse cone, usando as fórmulas de área lateral, distância de ponto a reta num triângulo e Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Sejam
;r o raio da base,
;l a geratriz (slant height) e
;h a altura do cone.
A área lateral de um cone é
Srm lat ;=;pi,r,l
Como Srm lat=60pi, obtemos
pi,r,l = 60pi Longrightarrow r,l = 60

Passo 3

No triângulo formado pelo vértice A, pelo centro da base O e por um ponto da circunferência B, temos AO=h, OB=r, AB=l e AOperp OB. A área desse triângulo é
área = tfrac12,AOcdot OB = tfrac12,h,r á
também igual a
tfrac12,(AB),(d) = tfrac12,l,d
Igualando as áreas:
tfrac12,l,d = tfrac12,h,r Longrightarrow d = h,rl

Passo 4

Substituindo d=4,8 e r,l=60 em d=tfrach,rl, temos
4,8 = h,rl e l = 60r
Logo
h = 4,8,lr =4,8,60/rr =288r^2

Passo 5

O Teorema de Pitágoras em AOB
l^2 = h^2 + r^2
Substituindo l=60/r e h=288/r^2:
l(60rr)^2 ;=;l(288r^2r)^2 + r^2 ;Longrightarrow; 3600r^2 = 82944r^4 + r^2
Multiplicando por r^4 e reorganizando surge
r^6 - 3600,r^2 + 82944 = 0,
cuja solução positiva é r^2=36, ou seja r=6;cm.

Passo 6

Com r=6 temos
l = 60r = 10;cm, h = raizl^2 - r^2 = raiz100 - 36 = 8;cm
Logo o volume do cone é
V = 13,pi,r^2,h = 13,picdot 36cdot 8 = 96pi;cm^3

Resposta

96pi;cm^3

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