A soma das áreas de um fuso de 60^circ e de uma zona esférica de 8 cm de altura é igual a 32 da área da esfera. Determine o volume da esfera.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera de raio desconhecido R. Precisamos usar duas fórmulas de geometria esférica:
  1. A área de um fuso esférico de ângulo central alpha (em radianos) é
Afuso = 2,alpha,R^2
  1. A área de uma zona esférica de altura h é
Azona = 2pi R,h
Também sabemos que a área total da esfera é
Aesf = 4pi R^2
O enunciado diz que
Afuso + Azona = tfrac32,Aesf
Nosso objetivo é achar R e então o volume
V = tfrac43pi R^3

Passo 2

Convertendo o fuso de 60^circ para radianos:
alpha = 60^circ = tfracpi3
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Afuso = 2,alpha,R^2 = 2 ,l(tfracpi3r),R^2 = tfrac2pi3,R^2

Passo 3

A altura da zona esférica é h=8 cm, então
Azona = 2pi R,h = 2pi R cdot 8 = 16pi,R

Passo 4

A área total da esfera é 4pi R^2. A condição do enunciado é
Afuso + Azona = tfrac32,Aesf = tfrac32,(4pi R^2) = 6pi R^2
Substituindo:
tfrac2pi3R^2 + 16pi R = 6pi R^2

Passo 5

Dividindo tudo por pi e multiplicando por 3:
2R^2 + 48R = 18R^2 Longrightarrow 16R^2 - 48R = 0 Longrightarrow 16R(R - 3)=0
Como R>0, temos
R = 3 cm

Passo 6

O volume da esfera é
V = tfrac43pi R^3 = tfrac43pi cdot 3^3 = tfrac43pi cdot 27 = 36pi cm^3

Resposta

O volume da esfera é 36pi cm^3.

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