Determine o volume do segmento esférico obtido da seção de uma esfera de 10 cm de raio, por um plano, que passa a 2 cm do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado apresenta uma esfera de raio R = 10 cm e um plano que corta a esfera a uma distância de d = 2 cm do centro. A região entre esse plano e a superfície da esfera é um segmento esférico. Para encontrar o volume desse segmento, precisamos calcular sua altura h e depois usar a fórmula do volume de um segmento esférico.

Passo 2

A altura h do segmento esférico medida entre o plano de corte e o ponto mais distante da esfera é dada por
h = R - d
Substituindo R = 10 e d = 2 obtemos
h = 10 - 2 = 8 cm

Passo 3

O volume V de um segmento esférico de raio R e altura h é dado por
V = pi,h^2,(3R - h)3
Substituindo R = 10 e h = 8 temos
V = pi cdot 8^2 cdot (3cdot 10 - 8)3 = pi cdot 64 cdot 223 = 1408pi3 cm^3

Resposta

V = 1408pi3 cm^3 approx 1473,7 cm^3

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